Perché in un compito di analisi matematica gli studenti sono tipicamente in grado di calcolare le derivate ma vanno in crisi di fronte ad un limite? Questo accade perché sempre più spesso vengono addestrati a risolvere i problemi in termini di “pattern matching”. Davanti a un problema si cerca nella memoria un caso simile per poter applicare meccanicamente qualche regola standard. Ma così non si va molto lontano. Per risolvere i veri problemi, anche nella vita di tutti i giorni, quello che serve è il pensiero analitico, non quello meccanico. Una verità che negli anni recenti è stata offuscata dalla contrapposizione tra conoscenze e competenze, come se fosse possibile essere competenti in qualcosa che non ci conosce a fondo. Ripubblichiamo in forma abbreviata un post di Alberto Berretti apparso su agendadigitale.eu.

Link all’articolo completo: Se gli algoritmi a Scuola uccidono il pensiero analitico

Vengo dalla correzione dei compiti di due appelli di Analisi Matematica 1 ad Ingegneria, andati ap­parentemente peggio del solito, nonostante un compito abbastanza facile e costituito da esercizi quasi identici a quelli fatti in aula. E ritrovandomi a dire, da un po’ di tempo a questa parte, ogni anno la stessa cosa, mi faccio delle domande.

[…]

Ora parlerò – e me ne dispiace – usando un minimo di terminologia matematica. Capire di che si tratta non è essenziale, anche se aiuta.

Dunque, come è andata e perché dico che è andata peggio del solito? Un disastro sui limiti, ma tutti sanno fare le derivate. Saper fare le derivate è una cosa che crocianamente potremmo definire mec­canica: hai delle regole  – poche  -, le impari, le applichi, calcoli la tua derivata, fine della storia. Ma­gari devi faticare un po’ per fare i conti giusti, ma tutto lì. Tant’è che un esercizio per studenti di in­formatica di un certo livello che imparano un certo tipo di linguaggi di programmazione è spesso quello di scrivere un programma che fa la derivata di una funzione data: è facile insegnare ad un computer come si fanno le derivate!

Ma la derivata è un limite, non esiste una teoria delle derivate senza una teoria dei limiti. I limiti li hanno inventati esattamente perché servivano per definire le derivate. Ma la maggior parte dei ra­gazzi non sa fare un limite. Limiti semplici, che però esulano dai pochi metodi banali e  –  diciamolo –  meccanici tipicamente imparati  – appunto! – meccanicamente alle superiori. Non appena serve una strategia, non appena devono fare un conto che deve andare in una certa direzione e non in un’altra, un conto che non puoi fare tutto in un solo boccone, non appena devono capire come ap­procciare il problema, come conviene iniziare, da quale parte prenderlo, insomma quando devono  pensare, li attende, molto spesso e con poche eccezioni, il fallimento.

La forma di pensiero prevalente tra gli studenti che mi capitano negli ultimi anni è quella analogica, basata sul pattern matching: vedi un problema e senza necessariamente capire di cosa si tratta, cer­chi di ricordarti a cosa somiglia che tu abbia già visto. A questo punto tenti di applicare la medesima tecnica – appunto  meccanicamente – ignorando completamente però il meccanismo: perché il ragio­namento basato sul pattern matching, alla fine, è si meccanico, ma ignora la meccanica dei proble­mi.

[…]

Sfido chiunque a dirmi che questo “non serve”. Questo modo di ragionare servirebbe anche a coloro che non hanno mai a che fare con cose matematiche. Questo è il modo in cui ragioni quando ap­procci qualunque problema in una situazione non banale e devi essere un minimo – dico un minimo – creativo.

[…]

E c’è tutto un altro ordine di ragionamenti molto importante. Serve la competenza, o la conoscenza? Che dire, ho sentito tutta una serie di insegnanti, didatti e dirigenti scolastici (15 anni di consiglio di istituto in due scuole come genitore non sono passati invano) parlare della “scuola delle competen­ze” contrapposta alla “scuola delle conoscenze”, il “saper fare”, e così via. In quanti POF ne ho sen­tito parlare (cos’è un POF? POF-ferbacco, un Piano dell’Offerta Formativa, un rito annuale dei Consigli di Istituto, ora ha cambiato nome in seguito all’ennesima riforma, mi son dimenticato come si chiama ora). Ho tentato di leggere, recentemente, pubblicazioni in riviste didattiche per in­segnanti per capire di cosa davvero si tratterebbe: non ci sono riuscito, complice forse la mia forma­zione fisico-matematica per la quale prima di parlare di qualcosa si deve avere ben chiaro di cosa si stia parlando (l’importanza di definizioni precise!).

La mia sensazione, detto in modo grezzo e bru­tale, detto come molti insegnanti in prima fila in classe pensano, ma non osano dire, è che si tratti di un mucchio di banalità. Qualcuno dovrebbe avere la cortesia di spiegarmi come si fa ad essere com­petenti in qualcosa che non si conosce a fondo. E a cosa serve conoscere se non si sa far nulla. Mai dicotomia è stata, direi, più inutile, e se, formulando opportunamente i concetti, ci fosse qualcosa di serio e profondo da dire sull’argomento, dubito che non sia stato detto e probabilmente stradetto in millenni di storia del pensiero filosofico (perché la reinvenzione filosofica dell’acqua calda sembra essere un atteggiamento molto comune oggi).

“Ma alle aziende serve la competenza specifica in questo e quest’altro”. Sicuramente, ma anche no. Ovvio che se sei un’azienda di meccanica e ti serve un tornitore, ti serve un tornitore che sappia usare il tornio. E così via. Ma c’è anche un altro livello: il tornitore dovrebbe non solo saper usare il tornio, ma anche imparare ad usare le nuove macchine man mano che escono. Altrimenti avremo una forza lavoro spiazzata dalla prima innovazione tecnologica.

Si confonde spesso, peraltro, addestramento, formazione e istruzione. Sono cose diverse che servo­no a far cose diverse. Abbiamo un Ministero della Pubblica Istruzione, non della Pubblica Forma­zione o del Pubblico Addestramento. Se si usano tre parole diverse per dire delle cose, saranno mol­to probabilmente tre cose diverse.

[…]

Quello che dovremmo iniziare a chiederci è cos’è successo negli ultimi dieci anni per ritrovarci in queste condizioni, se non vogliamo del ritornar vantarci e chiamarlo procedere inseguendo elabora­zioni teoriche separate dalla pratica dell’insegnamento.

(articolo già apparso su agendadigitale.eu)

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16 Commenti

  1. Sottoscrivo parola per parola. Peraltro mi ricorda
    un aneddoto di una decina di anni fa. Si tratta della soluzione che uno studente Erasmus diede ad un problema di meccanica quantistica del III anno.
    Alla richiesta di determinare la probabilità che un elettrone si trovasse tra una distanza r_1 e r_2 dal nucleo, lo studente diede una risposta pittorica.

    Si trattava della nuvoletta elettronica con una freccia che indicava un punto dove era scritto “qui”. Alle mie osservazioni lo studente rispose che mentre in Spagna spiegano che “le cose vanno così” in Italia spiegano “come mai le cose vanno così”.

    Credo che in Italia ci stiamo adeguando.

  2. Mi complimento: si evidenzia come processo comune a tutte le materie scolastiche quello di far decadere la qualità del ragionamento e del pensiero astratto.
    Noi dobbiamo prendere atto che attualmente il Ministero è in mano a nemici della scuola come la abbiamo sempre intesa e come ha contribuito al progresso di questo paese.
    I processi di miglioramento passano sempre attraverso una presa di coscienza, che è questa: non vogliono proprio che i ragazzi imparino a pensare, ma che siano ‘addestrati’, livellati e azzerati mentalmente.
    Prima ci liberiamo di questa gente e meglio sarà, ammesso che si intraveda una nuova classe politico-intellettuale all’orizzonte.

  3. Sul senso generale dell’ articolo concordo (la necessità del pensiero critico).
    .
    Nel dettaglio mi permetto di considerare poco a fuoco tutta la questione.
    .
    Che sia più facile (avendo appreso le regole) calcolare una derivata rispetto a un limite (o anche un integrale) è cosa nota da un paio di secoli abbondanti. E non è che quando ho sostenuto io l’ esame di analisi (alcuni decenni fa) le cose andassero in modo tanto diverso.
    Ed è anche vero che gli esercizi che si facevano 30,50 e più anni fa nella scuola e nell’ università italiana erano in parte volti a insegnare il metodo del “pattern matching” che resta pur sempre una metodologia di soluzione.
    .
    E’ però vero che la tendenza verso un finto problem solving standardizzato, finalizzato spesso a poter “somministrare” (altro termine ributtante) prove e test a correzione automatizzata e fortemente legato alla filosofia del “teach to test” sono dei veri problemi per chi abbia a cuore la formazione di capacità critiche.
    .
    Solo che per invertire la tendenza occorre capire da che parte sta il nemico. E qui occorrerebbe esercitare lo stesso pensiero critico che si auspica di formare.
    Il Ministero è in mano a nemici della Scuola ? Probabilmente sì. Ma chi sono? da cove vengono ? Purtroppo la risposta è meno rassicurante dell’ additare a responsabili di oscure manovre i soli cattivi pedagogisti-generalisti. Occorrebbe anche verificare quanti docenti universitari hanno contribuito alle Indicazioni Nazionali per la Scuola (quello che una volta erano i programmi). Chi ha deciso che l’ insegnamento della geometria euclidea basato su catene collegate di teoremi potesse essere sostituito dall’ enunciazione delle tesi dei principali teoremi per poterli applicare perdendo completamente il senso di un sistema ipotetico deduttivo? Magari per poter parlare fin dalle elementari di “geometrie non euclidee”? Non credo fossero pedagogisti.
    .
    Ovviamente non è solo un problema della matematica. E neanche solo della formazione degli studenti. Per esempio, nel momento stesso in cui i criteri anvur per settori bibliometrici privilegiano gli articoli su riviste ad alto impact factor, solo un folle potrebbe pensare di dedicare il tempo che ci vuole a scrivere un libro, con l’ opportuno esercizio di spirito critico, per fare il punto sulle conoscenze in un certo campo. Il “pattern matching” funziona beissimo anche per la ricerca scientifica purché si sia trovato il filone sufficientemente alla moda che garantisca la pura numerosità di citazioni.

    • @Pastore: Concordo.
      Chi ha avuto figli a scuola sa che alle elementari fanno cose fantasmagoriche, ovviamente senza capirle, invece di imparare e sedimentare la banale aritmetica. Fatto il danno (alle elementari) non è più possibile tornare indietro. Ricordo le sudate sui limiti ad Analisi I. Mi ero accorto che non erano così facili, ma avevo le gambe per affrontare e risolvere un mio problema. Avevo le gambe perché la scuola me le aveva date. Ai nostri ragazzi le gambe le hanno amputate. Chi gliele ha amputate? Noi ed i nostri colleghi teorizzando ed implementando metodologie e programmi di insegnamento assurdi.
      L’istruzione, se ce l’hai, ti permette di conoscere quello che vuoi. Se l’obiettivo è solo ‘conoscere’ (ma che cosa poi si dovrebbe poi conoscere nell’infinito mondo delle cose da conoscere?) allora non avrai possibilità di staccarti da quel poco che hai male imparato a conoscere.
      Come al solito i ragazzi non hanno colpe. Noi, specie se universitari, abbiamo tutte le colpe. Siamo colpevoli se abbiamo in prima persona suggerito al Ministero le panzane di cui si parla. Siamo colpevoli se non abbiamo fatto niente per impedirlo.
      Lo stesso, naturalmente vale per l’Università e per l’ANVUR in particolare.

  4. Anvur, VQR e parenti obbligano al “pattern matching”, i cui effetti sono di gran lunga più devastanti di quanto in genere si realizzi. Si tratta di cambiamento epocale che agisce sulle radici della formazione. Il fenomeno è su scala mondiale ma in Italia è stata data un’accelerazione impressionante, tra breve supereremo tutti. La ricerca sta diventando un’esercitazione fatta a base di assunti, frasi fatte, luoghi comuni, falsi teoremi, essenziali per pubblicare nel main stream. Fioriscono ovunque slides, figure e video accattivanti. Corsi sulle presentazioni, disinvoltura, abilità nelle “relazioni sociali”, e padronanza dell’inglese. I ricercatori vecchio stampo, sull’imbranato andante (e.g. tal A. Einstein o J.C. Maxwell), non hanno più scampo. Conta il contenitore, quello che c’è dentro non ha più alcuna rilevanza. Puoi dire una cosa e smentirla dopo un’ora, nessuno se ne accorge. Questi sono i paradigmi della società, basta vedere l’utilizzo di fondi tinta, parrucchini dipinti sulla pelata, e zeppe alzatacchi, necessari per conquistare voti.

    • A marco2013: non credo sia un fenomeno mondiale. Temo
      (è un eufemismo, dovrei in realtà dire: ne sono certo) che ciò avvenga solo in Italia (a parte qualche altro paese, del terzo mondo, che per noi è sempre stato irrilevante). Fra i paesi che per noi sono un modello, ciò NON avviene. Non mi riferisco alla formazione di base, la scuola negli USA può fare schifo anche più che in Italia, il problema non è questo. Il problema è la ricerca, scientifica e non. E QUINDI l’Università, il cui livello didattico è direttamente proporzionale al livello della ricerca scientifica del paese. Il problema è semplice: la classe politica di questo paese ha scelto di ridurre le spese per la ricerca scientifica molto al di sotto del livello medio degli altri paesi ‘leader’. Questo ha provocato NON l’innalzamento della soglia di bravura necessaria per accedere al sistema, ma semplicemente
      l’inasprimento della corruzione del sistema. Questi ragionamenti da idioti che qui vengono (giustamente) stigmatizzati (tipo il ragionamento ‘pattern matching’) non è l’avvento dell’ultima moda, ma è semplicemente il modo in cui dei mediocri, arrivati con la corruzione ai vertici del sistema, ora si barcamenano nel tentativo di gestire (visto che il sistema ha decretato che loro sono gli ‘esperti’…) una realtà per loro troppo complessa, mancando essi completamente degli strumenti intellettuali necessari.

  5. Mi piacerebbe vedere il suddetto compito, per capire se sono capace di farlo.

    In effetti l’obiezione comune degli studenti è: “il compito era difficile” Docente: “no, erano sempre i soliti esercizi” “mah, insomma”.

    E magari si passa da A = B/C a B = A C

  6. Sin da studente ho sempre notato, a partire da circa il secondo o terzo anno di università (ho fatto ingegneria) questo strano fenomeno: alcuni studenti hanno una sorta di idiosincrasia con il concetto di ‘infinito’.
    Nel senso sia dell”infinitamente piccolo’ che dell’ìinfinitamente grande.
    Notavo che alcuni di questi colleghi studenti erano assolutamente mediocri quando si trattava di manipolare limiti, derivate e integrali, e di non seguire/non capire dimostrazioni che usavano questi concetti. Tuttavia, quando si passava a materie tipo informatica, in cui gli oggetti sono sempre FINITI (cioè in numero finito) essi dimostravano di saper fare benissimo le stesse deduzioni logiche che, quando erano alle prese con limiti e derivate, sembravano incapaci di fare. Molti di questi diventavano poi quelli che la vulgata mass-mediatica chiama ‘geni del computer’, ‘hacker’ etc etc. Insomma, gente intelligente, ma stranamente irretita dall”infinito’…

    In seguito ho avuto modo di appurare che questa idiosincrasia PERMANE e
    non tutto riescono a superarla, anche se raggiungono le vette dello status accademico. In una sorta di cupio dissolvi molti di loro, pur rimanendo nell’ambito della matematica,
    cominciano ad evitare ogni cosa che abbia un collegamento con limiti e derivate… poi passano a evitare ogni cosa che abbia una dimensione infinita, e alla fine ogni cosa che abbia la potenza del continuo… solo il ‘discreto’ è davvero ‘reale’ per loro…

    • sarà per questo che gli ISPD dei dipartimenti di eccellenza sono approssimati ai “semi-interi”.

    • X Giuseppe De Nicolao: buona questa! :)
      C’è da dire che fanno progressi: fra poco scopriranno i numeri razionali (sempre in numero finito però…)

    • per i numeri razionali la strada è lunga: al momento, non sono andati oltre la nozione di “frazione superiore”
      ____________
      «In pratica se l’indicatore è frazionario, si intende la frazione superiore, troncata alle due cifre decimali (es. se il numero di citazioni normalizzato ha mediana 12,25, passano il criterio coloro che hanno un indicatore di 12,26 o superiore). Se l’indicatore è per costruzione un numero intero, come nel caso dell’ h contemporaneo, si intende l’intero superiore.»
      ____________
      Ecco il commento del compianto Giorgio Israel:
      ____________
      «All’Anvur (che pure conta dei laureati in materie scientifiche) non sanno che non esiste “la” frazione “superiore” di una frazione data. Difatti, tra un numero come 12,25 e 12,26 vi sono infiniti numeri frazionari e se prendo uno qualsiasi di questi, anche uno vicinissimo a 12,25, tra lui e 12,25 ve ne sono ancora infiniti, e così via. Insomma, l’insieme dei numeri razionali (a differenza degli interi) è denso. (Non è continuo, ma è denso, ma non addentriamoci in concetti troppo complicati). Insomma, a quanto pare, all’Anvur non sanno cosa siano i numeri razionali…»
      http://www.roars.it/online/ancora-sulle-competenze-matematiche-dellanvur/

    • “[…] si passava a materie tipo informatica, in cui gli oggetti sono sempre FINITI (cioè in numero finito) […]”
      un banale ciclo while puo` generare infinti passi. Da li il Teorema di Rice e, prendendola alla larga, l’impossibilita` di dimostrare la correttezza dei programmi.

  7. Non per fare polemica, ma,
    “non esiste una teoria delle derivate senza una teoria dei limiti”
    e` falso. Si chiama analisi non standard.
    Direi che questo esempio, per quanto aneddotico, dimostri come il problema non sia solo degli studenti, ma anche del corpo docente, che, quanto a flessibilita`, ogni tanto pecca. Tra l’altro, l’analisi non standard e` estremamente piu` intuitiva.
    Piu` logica per tutti!!

    • Non per fare polemica, una cosa è chiara: il concetto di limite non soddisfa pienamente tutti, con grande sorpresa di coloro (come me) che pensavano che tutti dovessero esserne soddisfatti.

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